quanta 数学家赫克托·帕斯滕用技巧解决拖延症，探索数论核心问题？

quanta 数学家赫克托·帕斯滕用技巧解决拖延症，探索数论核心问题？

去年11月的一个清晨，数学家赫克托·帕斯滕历经多年，终于凭借一种历久弥新的工作效率方法，成功克服了他长期以来的难题——拖延症。

他原本计划为圣地亚哥智利天主教大学的数论课程准备期末考试的试题。为了逃避这项工作，他反复琢磨起自己最钟爱的数列之一——2、5、10、17、26……，这是一个由所有符合n² + 1形式的整数（n为整数）构成的序列。

自一个多世纪前起，数学界人士便利用这一数列来探寻加法与乘法之间存在的紧张联系，这一问题构成了数论领域的核心矛盾。当探讨加法时，关于乘法的基础问题——诸如数字如何被拆分为质因数——便会变得愈发复杂和充满挑战。比如，数学领域最引人瞩目的未解之谜之一便是，是否所有大于2的偶数都能表示为两个质数之和（即著名的哥德巴赫猜想）？另一个疑问在于，是否真的存在无数对彼此之差为2的质数组合（比如11和13，这类质数被称为孪生质数），即孪生质数猜想是否成立。

n² + 1 数列在探究加法与乘法关联方面具有显著价值，其特色在于融合了乘法中最基础的运算——平方，以及加法中最基本的运算——加一。然而，这并不意味着该数列本身易于理解。即便如此，数学界对于该数列的基本性质仍存在诸多未解之谜，比如它是否含有无穷多个质数，这一问题至今仍悬而未决。蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔指出，我们与知识边界的距离并不遥远。每当数学家们对这个边界进行微小的拓展，他们所创造的技术往往能揭示关于加法和乘法的更深层问题。

帕斯滕努力寻求证明，该数列中的每个数字都必然包含至少一个相当大的质因数。在那个他本应准备期末考试题目的早晨，他终于实现了这一目标。他通过深入探究，找到了一种方法，即将关于n² + 1质因数的知识巧妙地融入被称为椭圆曲线的方程结构之中。

在午餐时分，他向自己的妻子，那位数学家纳塔莉亚·加西亚·弗里茨（-Fritz）阐述了自己的证明过程。鉴于所得结论出人意料，她建议道：“或许你该仔细核对几遍。”帕斯滕回忆说，“于是当天下午，我便照此行事，结果定理依旧稳固无误。”

赫克托·帕斯滕耗时十数年，致力于攻克加法与乘法交汇领域的数学难题。在决定推迟为某门课程布置期末试题之际，他终于取得了突破性的成就。

图源： -Fritz

仅有一个疑问：帕斯滕并未安排学生参加考试，而是要求他们就自己感兴趣的任何主题撰写文章。他评论道：“结果证明，这激发了学生们产出极具水准的作品。”

帕斯滕把他的证明提交给了数学界顶尖的期刊之一《数学新进展》，这个证明仅仅用了不到两个月的时间就被接纳——按照该领域的常规出版流程，这几乎可以算得上是瞬息之间。滑铁卢大学的卡梅伦·斯图尔特评论道：“对于近一个世纪以来鲜有重大突破的领域来说，这无疑是一个令人欣喜的进步。””数学家希望它也能转化为相关数列的进展。

帕斯滕的技艺还助力他在abc猜想的部分领域取得突破，这一领域探讨的是加法与乘法之间的复杂关系，堪称数学界最为知名且饱受争议的未解之谜之一。“在这个领域，创新且准确的见解实属罕见，”格兰维尔在邮件中提到。“帕斯滕所采用的方法具有独到之处，且具有广阔的发展前景，值得引起广泛关注。”

大质数

数列虽然持续增大，却不能确保其最大质因数也同步增长。以数列n²为例，包含数字1、4、9、16等。在这数列中，我们能够轻易地找到质因数较小的数。比如，在这个列表中，任何2的幂次方（如4、16、64、256、1024等）都仅包含一个质因数，即2。

帕斯滕指出，一旦你将这个数列中的每一个数都加一，你便会彻底丧失所有关于质因数的知识。“质数的运动轨迹极其诡异。”

1898年，卡尔·斯特默（1874-1957）证实：与n²数列相异，n² + 1数列的数字所含最大质因数随着n的增加逐渐趋向于无限。斯图尔特评论道，这一发现揭示了“一些引人入胜的现象，一些非同寻常的现象”。

然而，Størmer未能推导出n² + 1这一数列的最大质因数增长速率——这一速率是探究该数列自然特性的关键步骤。

在数列中，当你逐一核算各个数字时，你会发现大多数数字都含有一个极其庞大的质因数。然而，有时也会遇到质因数显著减少的情况。以数列中的某个数字586,034,187,508,450为例，它含有一个质因数67,749,617,053。然而，紧接着的数列数字586,034,235,924,737，其最大的质因数却只有89。正是这些例外使问题变得困难。

1930年代中期，萨瓦达马南·乔拉（1907-1995）与库尔特·马勒（1903-1988）独立地证实，无论n取何值，n² + 1的最大的质因数必然不少于log(log n)。然而，log(log n)的增长速度异常缓慢——若将其以图表形式呈现，其曲线在视觉上会显得极为平缓。数学家们推测，n² + 1的最大质因数的增长速度可能更为迅速。尽管如此，他们尚未找到确凿的证明方法。

在20世纪30年代的中期阶段，数学领域的两位杰出人物库尔特·马勒（如上图所示，位于上方）以及萨瓦达马南·乔拉（如上图所示，位于下方）独立地确立了一个关于数列中最大质因数增长速率的界限。这一研究成果，对他们的原始发现进行了首次显著的提升。

图片来源：自上而下依次为：MFO；资料由White与Leon Levy档案中心所提供。

2001年，香港科技大学的研究人员斯图尔特与於坤瑞，借助超越理论的数学分支，成功研发出一套探究数列质因数的新策略。经过两年的深入研究，他们阐明了如何将此方法应用于n² + 1数列，并在此过程中，相较于前人的成果，实现了些许微小的提升。

自那时以来，该课题陷入了困境。格兰维尔表示：“我们长期以来一直迫切需求一种新的成分。”

小指数

帕斯滕多年来始终专注于这种新成分的培育。2012年，身为安大略省金斯顿女王大学研究生的他，在导师Ram Murty的指导下，被建议集中精力研究加法与乘法之间相互作用的课题。

数论研究者们所采用的众多高效手段中，将数字转化为椭圆曲线方程便是其中之一。比如，你的数字可能成为该方程的解，亦或是在判别式（）的计算过程中显现。经过恰当的编码，数学家们能够借助椭圆曲线的复杂结构，以及模形式等相关的数学概念。巴黎西岱大学的Marc 表示，每当引入这些模形式，便会涌现出大量信息，这是因为它们背后拥有一个详尽且引人入胜的理论体系。

帕斯滕经过多年研究，形成了一套包含模形式及其相关实体（即所谓的志村曲线）的全新理论，这套理论帮助他解决了Murty提出的一系列问题。然而，在n² + 1这个问题上，他并未取得任何实质性的进展，他明确表示：“我在这方面毫无突破，绝对没有。”这个问题一直困扰着他长达多年。

11月的清晨，帕斯滕本应着手出题，然而n² + 1问题却成了他逃避现实的借口。那年初，他的父亲不幸离世，帕斯滕将数学视为心灵的慰藉。“我发现数学在这方面大有裨益，”他感慨道，“数学不仅仅是证明定理——或许它还能帮助我们与现实世界进行交流。”

直接对n² + 1数列的质因数进行操控似乎相当困难，因此帕斯滕很早就将他的注意力转移到了较为间接的策略上：控制质因数分解过程中的指数。在对一个大数进行因式分解时，该数可能是由小质数的大指数（次方）构成，亦或是大质数的小指数构成。然而，它不可能由小质数的小指数构成——因为这样无法产生足够大的数字。因此，若你成功证实指数相当微小，那么必定存在一个质数其数值必然相当巨大，这正是帕斯滕所试图证明的核心观点。

帕斯滕凝视着前一天黑板上的一些计算，突然有了新的领悟，他意识到自己或许能够通过构建恰当的椭圆曲线，来操控n² + 1的素因式分解过程中的指数。经过一番尝试，他成功找到了一个方程，即y² = x³ + 3x + 2n，并发现这个方程的判别式恰好是n² + 1与一个-108的乘积。

将志村曲线理论运用至该椭圆曲线的具体情形，他得以证实n² + 1中指数的乘积需保持适度之小。此情形并不必然要求所有指数均甚小，然而，这赋予了他充足的控制力，使他得以从超越理论中采纳斯图尔特与於坤瑞过往的成熟方法。运用这两种技术的融合，他得以证实n²加1的最大的质因数至少应当接近于log²(log n)——这即是1930年代由和所提出的估计值的平方。帕斯滕提出的新增长率显著超越了以往的最高记录，尽管数学界对实际的增长率可能更高持有疑虑。

即便如此，“这仍然是一个显著的进步，”说。

帕斯滕能够运用他的技术，对abc猜想的特定情形进行估算的优化。该猜想指出，若三个整数a、b和c（三者互质）满足等式a + b = c，那么这三个数的质因数乘积相对于c来说，必须显得尤为庞大。这一猜想堪称数论领域的关键之一，长达十年始终是学术界争论的焦点：望月新一这位数学家宣称自己已对该猜想予以证明，然而，数学界的多数同仁对此持怀疑态度。帕斯滕的研究提出了全新的解题思路。尽管他的成果尚未完全证实该猜想，但从某些角度考量，这无疑成为了几十年来的一大突破。“我觉得abc猜想是一个非常棘手的课题，”格兰维尔说。

九十年前，他们确立了自己的界限，随后数学界开始为一系列无限数列（如n²加3或n⁵加2）设定了类似的界限。研究者或许会对帕斯滕提出的最新界限尝试类似的探索，同时也会研究其方法对加法和乘法边界地带其他问题的潜在影响。哈佛大学的巴里·马祖尔指出，这种进攻策略的独创性，使得这一前景显得格外令人振奋。

这些研究的成果难以预料。“这正是原创性的所在，”格兰维尔如此表述。然而，他确信，“其中肯定包含着一些非常吸引人的发现。”

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