quanta 五月数学家团队重大突破！证明几何朗兰兹猜想意义非凡？

quanta 五月数学家团队重大突破！证明几何朗兰兹猜想意义非凡？

五月，一支由九位数学家构成的团队宣告实现了重大突破。他们成功验证了被誉为几何朗兰兹猜想的命题——这一命题是构建数学“大统一理论”的广泛研究计划中的关键环节。这一证明篇幅超过800页，代表了长达30年的研究工作的巅峰，正如一位数学家所言，这堪称“最高成就”。

“这是美丽的数学，”另一个人说。“同类中最好的。”

在同类成果中堪称翘楚，它不仅标志着一项具有划时代意义的数学成就——成功解答了一个长期悬而未决的重大问题，并且有望对未来数十年的学术研究产生深远影响——更因其揭示了深刻而令人惊喜的内在联系。通常情况下，当数学家们成功地将原本看似毫无关联的构想进行对话，并消除不同研究领域间的隔阂时，往往能够诞生卓越的成果。而几何朗兰兹猜想的证实，便是此类卓越成果的典范。

这并非2024年所取得的唯一显著成就。实际上，在几何学领域，便已诞生了数个具有划时代意义的证明成果。其中，某些人，比如在几何朗兰兹案例中，成功破解了数十年前的猜想。而另一些人，则对其他命题提出了令人震惊的反证。

这样的突破并非无中生有，而是经过数十载的辛勤耕耘，通过逐步积累而得以实现。今年，这一趋势带来了诸多令人振奋的成果，尤其在数论领域。诸如黎曼猜想和abc猜想等知名难题均取得了重要进展。

这便是数学在众多情境中进步的典型模式：此处诞生一个新颖的观点，彼处又出现另一个见解，如此循环往复，直至那些原本看似绝无可能实现的事情，逐渐变得不再那么遥不可及。

几何朗兰兹猜想被证明

图源：Nan Cao|

2024年的显著成就主要源于朗兰兹纲领，这一纲领承载着半个世纪的宏伟蓝图，若能实现，将把数学研究的众多分支紧密相连。其核心宗旨在于重塑数学领域的版图——将分散的各个数学领域汇聚成一片统一的数学大陆。

证明朗兰兹纲领的实际成果常常面临巨大的挑战。这些命题本身就极其繁复且技术含量高，而要证明它们，所需的技术手段更是不容小觑。

在1980年代，有位数学家提出了朗兰兹纲领核心要素之一的几何表述——即著名的几何朗兰兹猜想。这一猜想中，包含了一个名为“层”或“束”的复杂数学概念（详见相关资料）。几何朗兰兹猜想被认为是朗兰兹纲领的基石，然而，尽管历经数十年，它始终无人能解——直至今年。这份证明对该纲领的其他内容而言犹如一剂强心剂，让数学家们兴奋不已，期待在接下来的数年里深入研究其后续发现。他们坚信，这将带来极为重大的影响。正如某位数学家所言，“它将打破学科间的种种界限。”

AI人工智能的作用日益增强

如果以正确的方式看待，椭圆曲线可以像鸟一样成群。

视频制作：Paul |

新的人工智能系统，如某些“大型语言模型”，在初露头角时，其数学技能仅停留在初级水平，且并非以理想的方式展现。聊天机器人连简单的加法都无法准确完成，更别提解决那些复杂的应用题了。至于生成完整的证明，那更是无从谈起。在数学领域，人工智能似乎始终面临着挑战。

然而，在今年，谷歌推出的新型人工智能模型已使自身成为国际数学奥林匹克竞赛的强劲对手，而该竞赛是全球最顶尖的高中生数学赛事。一月，该公司推出了一个模型，该模型能够解决几何问题，其表现几乎可以与金牌得主相媲美。在半年时间内，2号模型能够轻松赢得金牌，并且在与谷歌的大型语言模型结合使用后，能够有效解决更广泛的问题，进而使得在全面的奥林匹克竞赛中夺得银牌。我们将这一最新的模型命名为。

这代表了一个重大的突破。它彰显了人工智能在数学领域的迅猛进步，同时也为未来人工智能在原创性研究中的数学辅助角色提供了期待。

三月，量子杂志披露了这一现象的形成过程。在2022年，数学界通过机器学习技术，在所谓的椭圆曲线关键方程中揭示了一些令人瞩目的奇异规律。这些规律之美妙，令人咋舌：当从恰当的视角审视椭圆曲线的某些数值属性时，它们呈现出的形态仿佛成群的鸟儿飞翔，这一现象被称作“椋鸟群飞”。在接下来的数年间，研究团队不懈地探寻着那些数学领域中的“椋鸟群飞”现象。（详见相关文献）在这一探索之旅中，他们不仅在数论领域的众多研究对象中发现了这些现象，更由此催生了诸多重要成果与洞见，其中包括创造了一种全新的函数形式。

人工智能技术日益发展，其方法也日渐复杂，此类现象将愈发常见。我们曾目睹——计算机技术是如何逐步深入数学领域，为数学研究开辟崭新路径的。而今，数学研究者们正努力预测人工智能的未来形态。

球堆积记录被打破

更密集的方法来堆积高维球体

视频制作：Dave Whyte|

与几何朗兰兹猜想相异，球体堆积问题表述起来相当简便：如何将相同的球体进行排列，以填充最大体积且不发生重叠？在三维空间内，球体可以排列成金字塔状的堆叠，就如同在杂货店中看到橙子堆放的情形。然而，当维度提升至更高层次时，情况又会如何呢？

直至2016年，乌克兰数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡（生于1984年）揭示了特定晶格在8维和24维空间内填充球体的最佳方案，在此之前，关于超过三维的解答一直是个谜。至于其他维度，确切答案依旧是个未解之谜。

数学家们渴望探寻一种普适的解决方案——一个能够描述在任意维度空间中紧密排列球体的公式，即便这种排列并非绝对最优。今年四月，量子杂志披露了自75年以来，在球体堆积这一领域取得的首次重大突破。该成果显著提升了过往累积的效率，并且采纳了一种创新手段：数学家们并未效仿维亚佐夫斯卡所采用的有序、良好的堆叠球体方法，转而运用图论进行了一种极为无序的堆叠。（详见 ）

这并非仅是2024年的一个堆积成果。托马斯·黑尔斯（1958年出生）和另一位数学家，他们在1990年代的研究中，不仅揭示了三维空间中球体堆积的最优策略，而且还对最不理想的堆积形态提出了相关论断。（详见相关资料）

数学家找到50年前米尔诺猜想的反例

图源：Alex Eben Meyer|

验证古老猜想的准确性至关重要，然而，对其提出质疑同样关键。正如某位数学家在量子杂志中所述，“我们需持有质疑的态度，即便面对那些直观上看似无误的论断。”这种态度催生了一项重要的几何成就：三位数学家成功发现了米尔诺猜想的反例。米尔诺猜想，一个拥有半个世纪历史的问题，探讨了物体整体形状与其放大后形态之间的联系。这项任务致力于研发一种全新的结构，其揭示的宇宙形状之奇特，甚至超出了数学家的预期——尽管他们早已觉得这一形状颇为奇异。（参见相关资料）

数论中的重要进展

图源：Nico Roper|

攻克这些关键的几何难题，宛如在数学的画卷上树立起一座座巍峨的丰碑。然而，为未来可能建立的丰碑打下坚实的基础同样不可或缺。在2024年的数论研究中，我们见证了这一进程：数学家们在该领域若干核心问题的深入理解上取得了决定性的进步，尽管这些进步是逐步显现的。

两位数学家对黎曼假设可能存在的例外数量提出了新的估计，这一成果可以说是数学领域最为重大的未解之谜之一。他们的研究不仅打破了长达80年的记录，还揭示了有关素数分布的全新见解。

同样，三位研究生的研究表明，在确定集合中必然存在等距分布的数字序列之前，我们能够更准确地预测该集合可能达到的最大规模。这一研究深入探讨了数学领域中无序如何必然地转化为有序，从而成为几十年来“塞梅雷迪问题”取得的首次突破。（详见参考文献）

与此同时，数学界近期在探究由2、5、10、17、26等构成的数列（即那些符合n²+1形式的数字）的特性上有了新的发现。这一成果使得研究者得以深入挖掘加法与乘法运算之间的微妙联系。此外，它还助力研究者对abc猜想的部分情形提出了新的评估，而abc猜想不仅是数学领域的关键问题，同时也是颇具争议的焦点问题之一。（详见相关资料）

解决这些数论难题尚需漫长征程，然而，随着研究的深入，数学家们不断拓展了工具箱，并提出了新颖的见解。展望未来，谁又能准确预知2025年乃至更远将有何等变化呢？

参考资料

科普荐书

·开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙·

让数学

更加

易学易练

易教易研

易赏易玩

易见易得

易传易及